Unidimensional and Evolution Methods for Optimal Transportation

By Nicolas Bonnotte. 2013

Sur une droite, le transport optimal ne pose pas de difficultés. Récemment, ce constat a été utilisé pour traiter des problèmes plus généraux. En effet, on a remarqué qu'une habile désintégration permet souvent de se ramener à la dimension un, ce qui permet d'utiliser les méthodes afférentes pour obtenir un premier résultat, que l'on fait ensuite évoluer pour gagner en précision.Je montre ici l'efficacité de cette approche, en revenant sur deux problèmes déjà résolus partiellement de cette manière, et en complétant la réponse qui en avait été donnée.Le premier problème concerne le calcul de l'application de Yann Brenier. En effet, Guillaume Carlier, Alfred Galichon et Filippo Santambrogio ont prouvé que celle-ci peut être obtenue grâce à une équation différentielle, pour laquelle une condition initiale est donnée par le réarrangement de Knothe--Rosenblatt (lui-même défini via une succession de transformations unidimensionnelles). Ils n'ont cependant traité que des mesures finales discrètes ; j'étends leur résultat aux cas continus. L'équation de Monge--Ampère, une fois dérivée, donne une EDP pour le potentiel de Kantorovitch; mais pour obtenir une condition initiale, il faut utiliser le théorème des fonctions implicites de Nash--Moser.Le chapitre 1 rappelle quelques résultats essentiels de la théorie du transport optimal, et le chapitre 2 est consacré au théorème de Nash--Moser. J'expose ensuite mes propres résultats dans le chapitre 3, et leur implémentation numérique dans le chapitre 4.Enfin, le dernier chapitre est consacré à l'algorithme IDT, développé par François Pitié, Anil C. Kokaram et Rozenn Dahyot. Celui-ci construit une application de transport suffisamment proche de celle de M. Brenier pour convenir à la plupart des applications. Une interprétation en est proposée en termes de flot de gradients dans l'espace des probabilités, avec pour fonctionnelle la distance de Wasserstein projetée. Je démontre aussi l'équivalence de celle-ci avec la distance usuelle de Wasserstein.

How researchers see this paper

The researchers whose trusted networks rank it highest, strongest advocate first. Every researcher gets a different order.

Citations in the corpus

Complementary Learning for Overcoming Catastrophic Forgetting Using Experience Replay (2019, methodology): “We rely on Wasserstein Distance (WD) metric [Bonnotte, 2013], which has been used extensively in deep learning applications.”
{Euclidean, metric, and Wasserstein} gradient flows: an overview (2016, background): “For the above construction, discrete in time and used for applications to images, there are not many references (essentially, the only one is [78], see also [20] for a wider discussion).”
Learning Transferable Knowledge Through Embedding Spaces (2019, methodology): “Note that although we use SWD in our approach, it has been theoretically demonstrated that SWD is a good approximation for computing the Wasserstein distance [131]:”
Optimal Transport for Applied Mathematicians: Calculus of Variations, PDEs, and Modeling (2015, background): “Later, the same author also started numerical implementations of the time-discretization of this equation in [66].”
Deep Transfer Learning for Few-Shot SAR Image Classification (2019, methodology): “…at least 1 − ξ for all h w , the following holds: Note that although we used SWD in our approach, it has been theoretically demonstrated that SWD is a good approximation for computing the Wasserstein distance [31]: where α is a constant and β = ( 2 ( d + 1 )) − 1 (see [32] for more details).”
Generalized Sliced Wasserstein Distances (2019, background): “In this respect, our result brings a different perspective on the results of [23] by showing that SW is indeed distance since the standard Radon transform is injective.”
Sequential Unsupervised Domain Adaptation through Prototypical Distributions (2020, methodology): “We rely on SWD [20] due to its suitability for deep learning [28, 22].”
Learning a Domain-Invariant Embedding for Unsupervised Domain Adaptation Using Class-Conditioned Distribution Alignment (2019, background): “approximation for the optimal transport [2] which has gained interest in deep learning community as it is an effective distribution metric and its gradient is nonvanishing.”