Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen.

By H. Helmholtz

sind bisher Integrale der hydrodynamischen Gleichungen fast nur unter der Voraussetzung gesucht worden, dafs die rechtwinkligen Componenten der Geschwindigkeit jedes Wassertheilchens gleich gesetzt werden können den nach den entsprechenden Richtungen genommenen Differentialquotienten einer bestimmten Function, welche wir das Geschwindigkeifspotential nennen wollen. Allerdings hat schon Lagrange*) nachgewiesen, dafs diese Voraussetzung zulässig ist, so oft die Bewegung der Wassermasse unter dem Einflüsse von Kräften entstanden ist und fortgesetzt wird, welche selbst als Differentialquotienten eines Kräflepotentials dargestellt werden können, und dafs auch der Einflufs bewegter fester Körper, welche mit der Flüssigkeit in Berührung kommen, die Gültigkeit jener Voraussetzung nicht abändert. Da nun die meisten mathematisch gut definirbaren Naturkräfte als die Differentialquotienten eines Kräftepotentials dargestellt werden können, so fallen auch bei weitem die meisten mathematisch zu behandelnden Fälle von Flüssigkeitsbewegung in die Zahl derer, bei denen ein Geschwindigkeitspotential existirt. Indessen hat schon Euler **) darauf aufmerksam gemacht, dafs es doch auch Fälle von Flüssigkeitsbewegung giebt, in denen kein Geschwindigkeitspotential existirt, z. B. die Drehung einer Flüssigkeit um eine Axe mit gleicher Winkelgeschwindigkeit aller Theilchen. Zu den Kräften, welche solche Arten von Bewegungen hervorbringen können, gehören magnetische Kräfte, welche auf eine von electrischen Strömen durchlaufene Flüssigkeit wirken, und namentlich die Reibung der Flüssigkeitstheilchen an einander und an festen Körpern. Der Einflufs der Reibung auf Flüssigkeiten konnte bisher noch nicht mathematisch definirt werden, und doch ist derselbe in allen Fällen, wo es sich nicht um unendlich kleine Schwingungen handelt, sehr grofs, und bringt

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Citations in the corpus

On the motion of a curve by its binormal curvature (2011, background): “Special attention was paid in the second part of [14] to configurations called “unendlich kleine Querschnitts”, and translated in [15] by vortex-filaments of indefinitely small cross-section: in such configurations, the vorticity field ω := curl(v) associated to the”
Feedback shear layer control for bluff body drag reduction (2008, background): “The theoretical foundation of vortex models dates back to Helmholtz (1858) and Thomson (1869).”
Motion and expansion of a viscous vortex ring. Part 1. A higher-order asymptotic formula for the velocity (2000, methodology): “In an effort to determine the translation speed of a vortex ring using the so-called Lamb’s transformation method, Helmholtz (1858) and Saffman (1970) for convenience introduced the definition of vorticity centroid in the axial direction.”
Finiteness of stationary configurations of the four-vortex problem (2008, methodology): “partial gradient vector with respect to xj. This system was introduced by Helmholtz [ 15 ] to model a two-dimensional slice of columnar vortex filaments, with some refinements by Lord Kelvin [32] and Kirchho [18].”